Date due rette incidenti, si può sempre trovare un punto che non appartiene a nessuna delle due rette.
enunciato
SE
_due rette sono incidenti (IPOTESI)
ALLORA
esiste almeno un punto che non appartiene a nessuna delle due rette (TESI)
Dimostrazione
- Siano r e s le rette incidenti in A.
- Sia B un altro punto su r, e C un altro punto su s
- Per il postulato di appartenenza 4 (unicità della retta per due punti) nè B nè C possono appartenere sia a r che a s in quanto hanno già A in comune.
- Sia t la retta per B e C.
- Per il postulato di ordinamento 4, tra B e C esiste un punto D.
- Poichè r e t hanno già in comune B, D non appartiene a r.
- Allo stesso modo, poichè s e t hanno già in comune C, D non appartiene neanche a s.
Abbiamo dimostrato che esiste almeno il punto D che non appartiene né a r né a s come volevasi.
Corollario:
Per un punto passano infinite rette
- la retta u per A e D non coincide nè con r nè con s per quanto appena detto.
- Essa è una terza retta che passa per il punto A.
- Ma tra B e D esiste per il postulato di ordine 4, almeno un altro punto E.
- Anche E non appartiene nè a r, nè a s, ne a u.
- Ma per A ed E passa una retta w che non coincide con le precedenti (per il solito postulato 4 di appartenenza).
- E così via...
Abbiamo dimostrato che per A passano rette senza fine
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