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La Retta

appunti sulla retta a partire dalla ’pendenza’

martedì 12 gennaio 2010, di Marcello De Vita

I Fatti

L’inclinazione di un segmento Nei cartelli stradali la pendenza di una strada è indicata come rapporto (in %) tra spostamento verticale e orizzontale [1].
Effettivamente mantenendo questo rapporto costante disegnando su una carta a quadretti si mantiene sempre la stessa direzione e si disegna una linea dritta.

Dunque, dati tre punti A, B e C, solo se la pendenza calcolata tra due coppie di punti è la stessa i punti sono allineati.

La retta è una "curva" a pendenza costante Infatti la retta è costituita da tutti punti allineati: scelta qualsiasi coppia di punti della retta il rapporto tra spostamento verticale e orizzontale per andare da un punto all’altro è pari alla pendenza della retta

La pendenza non individua la retta Infatti la pendenza individua solo la direzione. Per ogni pendenza ci sono infinite rette parallele.

Individuare la retta Per individuare univocamente una retta nel piano abbiamo bisogno di due informazioni:
- la pendenza e un punto della retta
oppure
- due punti della retta
Nel primo caso conoscendo la pendenza posso trovare un secondo punto e poi tutti gli altri

Nel secondo caso dai due punti posso trovare la pendenza

L’equazione della retta

Premesse

Poiché per individuare un punto nel piano è necessario un sistema di coordinate,
e,
la retta è un insieme di punti
=> è necessario fissare un sistema di riferimento sul piano, che prenderemo cartesiano.

Fissato il riferimento del piano, ricordando che per individuare un punto P sul piano sono necessarie due coordinate, nel nostro caso l’ascissa x e la ordinata y, a cosa può corrispondere una curva del piano?

Una equazione in due incognite x e y ha soluzioni [2] costituite da coppie di numeri (x,y). Queste coppie di numeri possono essere pensate come coordinate di un punto nel piano.

Quindi è naturale associare a una equazione l’insieme di punti rappresentati dalle soluzioni dell’equazione stessa.

equazione in x e y <=> insieme di coppie (x;y) soluzioni <=> insieme di punti del piano <=> curva del piano

se questi punti sono adiacenti, il loro insieme rappresenta una curva.

In conclusione:
l’equazione di una curva del piano è quell’equazione che ammette per soluzioni tutte e sole le coppie di valori x,y che sono le coordinate dei punti della curva stessa
ovvero:
se un punto appartiene alla curva le sue coordinate sono soluzione della equazione [3]
se un punto non appartiene alla curva le sue coordinate non sono soluzione dell’equazione [4]

la retta

Abbiamo detto pocanzi che:
- per ogni coppia di punti della retta la pendenza è sempre la stessa
- la pendenza è il rapporto tra spostamento verticale e orizzontale per passare da un punto all’altro
- i punti sono rappresentati da coppie di coordinate x,y

Mettiamo assieme questi pezzi e traduciamo queste affermazioni in equazioni:

pendenza=\frac{spostamento orizzontale}{spostamento verticale}

- ricordando che lo spostamento orizzontale è dato dalla differenza di ascisse (x) e quello verticale dalla differenza di ordinate (y) chiamando :
- x e y le coordinate del generico punto della retta P
- le coordinate del punto noto P_0 della retta rispettivamente x_0 e y_0
- p la pendenza supposta nota della retta in questione

risulta, per andare da P_0 a P:
- spostamento verticale = y-y_0
- spostamento orizzontrale = x-x_0

e dunque:

p=\frac{y-y_0}{x-x_0}

e questa sarà l’equazione della retta di pendenza p passante per P_0 (1° caso)

Nel caso in cui siano noti due punti della retta A(x_A;y_A) e B(x_B;y_B) (2° caso) possiamo r4icondurci al caso precedente calcolando prima la pendenza e poi utilizzando A o B come P_0:

p=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}

per comodità

conviene fare qualche passaggio algebrico

L’equazione della retta passante per un punto e di pendenza nota si può riscrivere in forma non fratta moltiplicando entrambe i membri per x-x_0 ottenendo:

y-y_0=p(x-x_0)

più comoda da usare.

Inoltre quando sostituiamo y_0 e x_0 con numeri si può scrivere la y in funzione della x ottenendo

y=p x+q

detta equazione esplicita della retta.

(passaggi da fare:

y-y_0=p(x-x_0)

y-y_0=p x-p x_0

y=px+y_0-p x_0

posto

 q=y_0 -p x_0

y=p x+q

detta equazione esplicita della retta in quanto: la pendenza è data dal coefficiente della x e un punto noto è l’intersezione tra retta e asse delle y di coordinate (0;q). Per questo q è anche chiamata quota o intercetta

Tipologie di esercizi di base:

sai farle tutte queste cose?

- dato un punto e la pendenza disegnare la retta e scrivere la sua equazione
- dati due punti disegnare la retta e scrivere la sua equazione
- dato il grafico di una retta scrivere la sua equazione
- data l’equazione di una retta trovare pendenza e intercetta e disegnarla
- data l’eq. della retta e una sola coordinata di un punto della retta trovare la coordinata incognita
- dati 3 (o 4 punti) stabilire se appartengono alla stessa retta
- data l’eq. di una retta scrivere equazioni di rette parallele e perpendicolari
- date le eq.ni di due rette trovare il punto in comune
- data l’eq di una retta e un punto esterno ad essa scrivere l’eq della retta passante per il punto perpendicolare e/o parallela alla retta data

Bene allora puòi affrontare esercizi più complessi...

Vedi anche https://sites.google.com/site/matec...

P.S.

da completare e integrare con figure

Note

[1] o quasi...

[2] una soluzione è costituita dalla serie di valori che sostituiti rendono vera l’uguaglianza

[3] se le sostituiamo nell’equazione otteniamo una uguaglianza VERA

[4] se le sostituiamo nell’equazione otteniamo una uguaglianza FALSA

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