marcello de vita .net
Home page > Appunti di Matematica > Le definizioni di limite con xo

Le definizioni di limite con xo

sabato 24 novembre 2018, di Marcello De Vita

Definizione Topologica

col linguaggio degli intorni possimao sintetizzare sia i casi per x \rightarrow \infty che i casi per limite \infty


\Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l\Big\}

\Leftrightarrow 
\Big\lbrace \forall H(l) \; \exists \; K(x_o) \;|\; \forall x \in K(x_o) \Rightarrow f(x) \in H(l)\Big\}

e si legge:

Si dice che il limite della funzione f(x) per x che tende a x_o è l
se e solo se
per ogni intorno H di l esiste un intorno K di x_o
tale che
per ogni x appartenente all’intorno K di x_o
f(x) appartiene all’intorno H di l

Note: x_o e d l possono essere numeri reali o \infty
x_o può non appartenere al dominio di f(x) ma deve essere almeno un punto di accumulazione per esso

Si avranno dunque i seguenti casi principali

. l\in\Re l=\infty
x_o\in\Re \lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l \lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=\infty
x_o=\infty \lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=l \lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=\infty

Per ciascuno di essi si può tradurre la definizione topologica specificando i raggi degli intorni, chiamando \epsilon e \delta numeri piccoli e M e N numeri grandi

Si avrà dunque:

Limiti Finiti

A11 per x_o\in\Re, l\in\Re


\Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l\Big\}
\Leftrightarrow 
\Big\{  \forall \epsilon>0  \; \exists \; \delta_\epsilon>0  \;  \;\Big|\;     |x-x_o |< \delta_\epsilon \Rightarrow  |f(x)-l| < \epsilon \; \Big\}

e si legge

Il limite di una funzione per x che tende a x_o è l
se e solo se
per ogni \epsilon positivo piccolo a piacere
esiste un \delta di \epsilon positivo tale che
se la differenza (in valore assoluto) di x da x_o è minore di \delta_\epsilon
allora la differenza tra la funzione e il limite l è minore di \epsilon.

A21 per x_o=\infty, l\in\Re


\Big\{\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=l\Big\}
\Leftrightarrow 
\Big\{  \forall \epsilon>0  \; \exists \; M_\epsilon>0  \;  \;\Big|\;     |x|> M_\epsilon \Rightarrow  |f(x)-l| < \epsilon \; \Big\}

Limiti INFiniti

A12 per x_o\in\Re, l=\infty


\Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=\infty\Big\}
\Leftrightarrow 
\Big\{  \forall M>0  \; \exists \; \delta_M>0  \;  \;\Big|\;     
 |x-x_o |<\delta_M \Rightarrow  |f(x)| >M \; \Big\}

A22 per x_o=\infty, l=\infty


\Big\{\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=\infty\Big\}
\Leftrightarrow 
\Big\{  \forall M>0  \; \exists \; N_M>0  \;  \;\Big|\;     |x|> N_M \Rightarrow  |f(x)| >M \; \Big\}

Limiti destri e sinistri, per eccesso e per difetto

Se i due intorni H(l) e K(x_o) non sono circolari ma sono destri o sinistri si parlera:

- per K(x_o) (dominio della funzione, le x) di limite destro o sinistro
- per H(l) (codominio della funzione, le y) li limite per eccesso o per difetto

SPIP | modello di layout | | Mappa del sito | Monitorare l'attività del sito RSS 2.0 | © marcello de vita