Problemi con Percentuali

provare a fare i 5 seguenti esercizi di riepilogo da soli , e solo successivamente leggere le soluzioni

Appunti sulle percentuali

a percentuale è un altro modo di scrivere un numero razionale

es. $\frac{1}{4}=0.25=25\%$

la percentuale si usa spesso per rappresentare il quoziente tra la parte e il tutto

$\frac{parte}{tutto}$

Ad esempio se in una classe ci sono 12 ragazze su 20 alunni, si dice che le ragazze sono i $\frac{12}{20}$ della classe, o che sono il 60% della classe, infatti:

$\frac{12}{20}=\frac{60}{100}=60\%$

Problemi di base

Esempio:
1) Calcola il prezzo scontato di un pantalone che costa 60€ e si sconta del 15%. Calcola anche gli euro risparmiati.

Annotiamo le quantità numeriche della situazione siano esse note o ignote
prezzo intero (il tutto): =60 €
euro risparmiati (la parte): r = ?
percentuale di sconto: s=15%
percentuale da pagare sul prezzo intero: k = ?
prezzo scontato:

Annotiamo le relazioni tra queste quantità:

$s=\frac{r}{p_i}$
$k=100\%-s=85\%$
o anche $k=\frac{p_s}{p_i}$
o anche $p_s=p_i-r=p_i-s\cdot pi=(1-s)\cdot p_i$
o anche $p_s=k\cdot p_i$
o anche $r=s\cdot p_i$

soluzione 1
Troviamo prima il prezzo scontato e poi gli euro risparmiati.
Utilizziamo la (2) e la (6):
$p_s=k\cdot p_i =85\% \cdot 60 = \frac{85}{100} 60 =51 \€$
utilizziamo la (7)
r = 60-51= 9 €

soluzione 2
Troviamo prima gli euro risparmiati e poi il prezzo scontato .
Utilizziamo la (8):
r=s $\cdot$ = 15% $\cdot$ 60 = $\frac{15}{100}$ 60=9 $\€$
$p_s= p_i - 3= 60 -9= 51$ $\€$
utilizziamo la (7)
r = 60-48= 12 €

ci sono altre infinite combinazioni...

Problemi inversi

Esempio:
2) Sapendo che il prezzo scontato di una felpa è 60€ e che lo sconto applicato è stato del 20%, calcola il prezzo intero e gli euro risparmiati.

Le quantità numeriche della situazione sono le stesse di prima, cambia solo quali già si conoscono e quali sono le incognite

prezzo intero (il tutto):
euro risparmiati (la parte): r = ?
percentuale di sconto: s=20%
percentuale da pagare sul prezzo intero: k = ?
prezzo scontato: $p_s = 60 \€$

Anche le relazioni tra le quantità sono dunque le stesse:

$s=\frac{r}{p_i}$
$k=100\%-s=80\%$
o anche $k=\frac{p_s}{p_i}$
o anche $p_s=p_i-r=p_i-s\cdot pi=(1-s)\cdot p_i$
o anche $p_s=k\cdot p_i$
o anche $r=s\cdot p_i$

soluzione proposta Se è stato applicato uno sconto del 20% io ho pagato l’80% (relazione (2)); dunque la (6) è:
$p_s=k\cdot p_i$
cioè $60=80\% \cdot p_i$
ovvero $60=\frac{4}{5} \cdot p_s$
Quest’ultima è una equazione in cui l’incognita è :
$\frac{4}{5} \cdot p_s=60$
dunque $p_s = 60 \cdot \frac{5}{4} =75 \€$

Problemi più complicati (a più passi)

3) Un appartamento cinque anni fa costava 250,000 euro; il suo prezzo oggi è aumentato del’8% rispetto ad allora; si calcola che il prossimo anno il prezzo sarà aumentato di un ulteriore 2% rispetto a oggi; calcolare il prezzo presunto dell’immobile il prossimo anno; calcolare anche la percentuale di aumento finale rispetto al prezzo di 5 anni fa.

Nei problemi a più passi dobbiamo fare attenzione al fatto che il successivo aumento del 2% non è relativo al prezzo iniziale, a ma al prezzo già aumentato; dunque, saltando alcuni dei passaggi già dettagliati per gli altri problemi:

prezzo iniziale: €
prezzo attuale: $p_a=108\% \cdot p_i$
prezzo del prossimo anno: $p_f = 102\% \cdot p_a$

Invece di fare subito i calcoli possiamo sostituire la seconda nella terza:

$p_f = 102\% \cdot p_a = 102\% \cdot (108\% \cdot p_i ) = ( 102\% \cdot 108\%) \cdot p_i$

Questa formula ci permette prima di tutto di calcolare :

$p_f = 1.02 \cdot 1.08 \cdot 200,000 = 1.1016 \cdot 200,000 =220,320$ €

Inoltre evidenzia che il prezzo finale è 1.1016=110.16% del prezzo iniziale! Dunque l’aumento complessivo è del 10.16%

4) Un impiegato riceve un aumento di stipendio del 5%, e successivamente un ulteriore aumento del 15%; a quanto corrisponde l’aumento complessivo del suo stipendio?

Questa situazione è simile alla precedente ma lo stipendio iniziale dell’impiegato non è noto; in ogni caso anche qui non possiamo semplicemente sommare le percentuali in quanto sono calcolate su cifre diverse.

stipendio iniziale:
primo aumento percentuale: 5%
stipendio dopo il primo aumento: $s_1=105\% \cdot s_0$
secondo aumento percentuale: 15%
stipendio dopo il secondo aumento: $s_2=115\% \cdot s_1$
aumento percentuale complessivo x;

Dunque :

$s_2=115\% \cdot s_1=115 \% \cdot ( 105\% \cdot s_0) = 1.15\cdot 1.05 \cdot s_0 = 1.2075 \cdot s_0$ ;

Lo stipendio finale è dunque 1.2075 volte quello iniziale, cioè il 120.75% di esso, come si può anche calcolare facendo il rapporto:

$\frac{s_2}{s_0}=\frac{1.2075 \cdot s_0}{s_0}=1.2075$

Dunque l’aumento percentuale è stato x=120.75%-100%=20.75%

5) Nel 2011 il PIL italiano è aumentato del 2.07% rispetto al 2010; nel 2012 il PIL è diminuito dell’1.45% rispetto al 2011. Calcolare la variazione percentuale complessiva del PIL tra il 2010 e il 2012.

Questo problema è pressoché identico al precedente salvo che invece di avere due aumenti si ha un aumento e una diminuzione:

PIL iniziale(2010):
aumento percentuale PIL 2010-2011: 2.07%
PIL 2011: $p_1=102.07\% \cdot p_0$
diminuzione percentuale PIL 2011-2012: 1.45%
PIL 2012: $p_2=(100\%-1.45\%) \cdot p_1=98.55\% \cdot p_1$
variazione percentuale complessiva x;

Dunque

$p_2=98.55\% \cdot p_1=98.55 \% \cdot ( 102.07\% \cdot p_0) = 1.00589985\cdot s_0 = 1.0059 \cdot s_0$ ;

Quindi la variazione complessiva è dello 0.59% in più

altri problemi sulle percentuali

Pirati della strada
Nel 2015 si sono registrati 1087 episodi di pirateria statale, il 7.7% in più rispetto all’anno precedente. Nel 56,6% dei casi si è riusciti ad identificare il reponsabile. Tra questi il 17.5% è risultato positivo al test sul tasso alcolemico.
Calcolare:
quanti sono stati gli episodi di pirateria nel 2014;
in quale percentuale complessiva di episodi si è accertato un tasso alcholemico fuori norma nel pirata.

Buono sconto
Un centro commerciale distribuisce un buono sconto di 109 euro, cifra da scalare applicando il 4% di sconto per gli acquisti nei successivi 5 anni.

Se ad esempio si acquista un fornetto elettrico che costa 100 euro, lo si paga 96 euro e si scalano 4 euro dal buono, su cui rimarranno 109 - 4 = 10 euro. Calcolare quanto si deve spendere nei 5 anni per risparmiare tutti i 109 euro offerti dal buono.

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