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Coefficienti Binomiali e Disposizioni

sabato 20 gennaio 2018, di Marcello De Vita

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La potenza di un binomio

I coefficienti dello sviluppo della potenza ennesima di un binomio possono essere ottenuti dal triangolo di Tartaglia (o di Pascal)

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Ma come si possono ricavare senza disegnare tutto il triangolo, quando n è grande?

$$(a+b)^n=(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdot ... (a+b)$$

La potenza ennesima corrisponde a moltiplicare per se stesso il binomio n volte.

Sappiamo dunque che lo sviluppo darà la somma di monomi $a^p\cdot b^ q$ con $p+q=n$ e con p che va da n a 0 e q che va da 0 a n.
Si tratta però di determinare le parti numeriche di questi monomi; queste parti numeriche sono chiamate appunto coefficienti binomiali.


Consideriamo da dove arrivano questi monomi: guardiamo al prodotto scritto sopra.

Il termine $a^n\cdot b^0=a^n$ si ottiene prendendo (moltiplicando) da ogni parentesi, a per a e non moltiplicando mai per b.

Il termine $a^{n-1}\cdot b^1$ si ottiene prendendo (moltiplicando) da ogni parentesi sempre a tranne una volta, in cui moltiplichiamo per b.
Ma $b$ può essere preso da $n$ parentesi, quindi avremo $n$ termini $a^{n-1}\cdot b^1$

Il termine $a^{n-2}\cdot b^2$ si ottiene prendendo (moltiplicando) da ogni parentesi sempre a tranne due volte, in cui moltiplichiamo per b.

In quanti modi possiamo avere questi 2 $b$?

Potremo prendere il primo $b$ da una di $n$ parentesi e il secondo $b$ dalle rimanenti $n-1$ parentesi, e avere quindi $a^{n-2}\cdot b^2$ per $n\cdot (n-1)$ volte. Ma attenzione!

Il primo $b$ è indistinguibile dal secondo $b$ quindi abbiamo contato due volte ogni caso. Dobbiamo dividere per il numero di permutazioni che si anno scambiando 2 elementi, i due $b$, tra loro.

Quindi il monomio sarà $\frac{n\cdot (n-1)}{2}a^{n-2}\cdot b^2$


L’ultimo caso è equivalente a quello del numero di modi di disporre 2 oggetti indistinguibili, ad esempio due palline, in $n$ caselle.

Posso posizionare la prima pallina in n caselle libere e la seconda in una delle n-1 caselle ancora disponibili. solo che se avessimo scelto la seconda pallina come pallina iniziale, il risultato non sarebbe cambiato, e quindi dobbiamo dividere a metà il numero di casi contati.

Cosa succede per il termine successivo della potenza del binomio?

Seguendo la stessa analogia di prima si tratta di calcolare in quanti modi si possono disporre 3 palline in n caselle:

  • la prima può essere messa in $n$ modi.
  • la seconda in $n-1$ modi
  • la terza in $n-2$ modi Otteniamo così $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)$ modi totali.

MA, di nuovo, le tre palline sono indistinguibili, quindi se scambio una pallina con un’altra non devo contare casi diversi. Quindi devo dividere per il numero di modi di spostare 3 oggetti: $3\cdot 2$.

Scambiare tra loro di posto degli oggetti si dice permutazione

tre oggetti possono essere scambiati di ordine in 6 modi:
consideriamo ad esempio le lettere x y e z

  1. posso mettere come prima lettera una delle tre letter, quindi ho 3 scelte.
  2. Come seconda posso mettere una delle due lettere rimanenti , quindi ho due scelte
  3. al terzo posso non ho scelta.

Ho un totale di $3\cdot 2 $ combinazioni:

x y z
x z y
y x z
y z x
z x y
z y x

Dunque, in generale, le permutazioni di $n$ oggetti sono $n!$.


Tornando alla potenza ennesima del binomi, il termine $a^p\cdot b^ {n-p}$ ha dunque un coefficiente numerico pari a:

$$\frac{n\cdot(n-1)...(n-p+1)}{p!}$$

Usando il simbolo di fattoriale si può riscrivere come

$$\frac{n!}{(n-p)!}\cdot \frac{1}{p!}$$


Questa espressione si indica col simbolo

$$\left(\begin{array}{} n\\ p \end{array}\right) = \frac{n!}{(n-p)!\cdot {p!}$$

$ \left(\begin{array}{} n\\ p \end{array}\right) = 1 $ per convenzione

In conclusione potremo scrivere:

$$(a+b)^n= \[\sum_{p=0}^n \left(\begin{array}{} n\\ p \end{array}\right) \cdot a^{n-p}\cdot b^p \]$$

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