Vogliamo dimostrare che:
Se
la forza tra sole e pianeta è diretta verso il sole
Allora
La velocità aureolare è costante
Passo 1:
dimostriamo che se il sole non esercitasse forza il pianeta percorrerebbe aree uguali in tempi uguali
Nella figura:
il punto 
rappresenta il sole,
il punto 
il pianeta a un certo istante,
il punto 
il pianeta dopo un dato intervallo di tempo 
il punto 
la posizione del pianeta un altro intervallo di tempo se il sole non esercita attrazione.
Tracciamo per la retta s parallela al segmento 
e consideriamo i triangoli
e 
.
Essi hanno la stessa base in quanto il pianeta si muove di moto rettilineo uniforme e dunque 
Hanno anche la stessa altezza 
Pertanto hanno la stessa area.
Passo 2
Il sole però esercita una forza, istante per istante in tutto il tempo considerato.
Per considerare una buona approssimazione che ci permetta di capire come vanno le cose
supponiamo che l’effetto del sole sia concentato a metà del tempo considerato, quando il pianeta si trova in ,
e che consista in una forza diretta verso di sé, come da ipotesi (la forza è diretta verso il centro del sole).
Allora, se la forza è diretta verso il sole, l’effetto sarà di produrre una accelerazione, dunque una velocità e dunque uno spostamento, nella direzione del sole , che se non ci fosse tale forza non ci sarebbe.
Questo spostamento aggiuntivo 
(in rosso) si somma, secondo le regole dei vettori, allo spostamento che avrebbe il pianeta se la forza di attrazione non ci fosse 
.
Il risultato sarà che lo spostamento totale sarà dato da 
. e il pianeta si ritrova in 
invece che in
Passo 3
Con attenzione possiamo notare che si trova su una retta passante per e parallela a 
Infatti per la regola del parallelogramma nella somma di vettori si trova su una retta p parallela a . E dunque a .
Passo 4
Ma allora anche i triangoli 
(in azzurro) e 
(in rosso) hanno la stessa aree, in quanto
hanno base comune 
hanno altezze congruenti 
e 
perché distanze tra la retta p e la retta per e parallele per costruzione;
Passo 5 Dunque, per la proprietà transitiva dell’equivalenza tra aree, se
Ovvero in tempi uguali il pianeta spazza aree uguali come affermato da Keplero
Animazione
Dimostrazione Seconda Legge di Keplero
Sposta il punto C per vedere che l’area dei triangoli rosso e blu è sempre la stessa qualunque sia lo spostamento verso il sole prodotto dalla forza di attrazione.
Puoi spostare anche P2
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